Las Formas Semejantes

 

Los Conceptos

 

El origen del concepto de semejanza está en el hecho de observar una misma forma alejada de nosotros, y la vemos con medidas reducidas, o cuando está cerca de nosotros y la vemos mas grande, es decir dependiendo de la distancia a la que se encuentre el objeto del observador este lo percibirá mas grande o más pequeño, pero lo reconocerá como el mismo objeto ya que la forma es la misma.

 

¿Pero cuál/es es la propiedad/es que identifican que dos figuras son semejantes ?. Observemos las fotos:

Dos formas son semejantes si y solo si las razones entre todas las longitudes de las líneas de los objetos que se parecen (se dice homologas) son iguales, es decir guardan proporción, llamandose al valor del resultado la razón de semejanza entre las dos formas.

 

¿Observáis alguna otra propiedad métrica que esté relacionada con la igualdad de las formas?...

 

Bueno, cambiar el punto de vista y en vez de relacionar las dos figuras concentrar vuestra atención en una, por ejemplo la pequeña, y en sus medidas,......

A mi me ha llamado la atención la longitud de la línea de la mano y el dedo que va del menton hasta la nariz y la línea del menton que parece casi el doble de la de la mano y el dedo, reformulemos la pregunta ¿Qué pasará en la otra figura? ....

 

Cierto, las razones internas entre medidas de una figura tienen que ser iguales a las razones de las medidas homologas de la otra figura, es decir si mi cabeza es 1/7 de la longitud de mi cuerpo, en una foto mia la cabeza será 1/7 del cuerpo que aparece en la foto, por que si no es así saldré deformado (immaginaros que sea 1/3, apareceré con un cabezón que ocupa la tercera parte de mi cuerpo, o si fuese 1/20 tendría una cabecita mínima al final de mi cuerpo).

 

Por lo que podemos concluir que en las figuras semejantes las razones internas entre medidas de una forma guardan proporción con las razones entre las medidas homólogas de la otra figura.

 

Pero ¿Cuál es la relación entre las dos propiedades?, ¿Esta es tan "importante" como la otra?, ¿Son independientes entre sí o el que se cumpla una obliga a que se cumpla la otra (la subordinada)? o ¿Son "equivalentes"?.

 

Antes de dar la respuesta, voy a explicar que significa que dos propiedades sean independientes, una subordinada a la otra o equivalentes:

 

Dos propiedades se dicen independientes si hay situaciones en las que se cumplen las dos a la vez, como en el caso de estas dos propiedades en las formas semejantes, otras en las que se cumple una y no la otra, y situaciones en las que no se cumplen las dos. Es decir que el que se cumpla una no garantiza ni que se cumpla ni que no se cumpla la otra y por eso decimos que las dos propiedades son independientes.

 

Si notamos a las propiedades por A y B, decimos que B depende de A o está subordinada a A, si en todas las situaciones en las que ocurre (se cumple) la propiedad A inevitablemente ocurre la propiedad B, aunque puede haber situaciones en las que ocurra B pero no ocurra A y otras en las que no ocurran ninguna de las dos. Esta dependencia se escribe en lenguaje lógico matemático de la forma A ⇒ B y se lee "Si ocurre A entonces ocurre B".

 

Las propiedades son equivalentes si en todas las situaciones posibles las dos se cumplen a la vez o no se cumplen, pero nunca ocurre que se cumpla una y no la otra, y por esta unión tan estrecha, que explicaremos mas adelante, se dicen que son equivalentes y se escribe de la forma A ⇔ B que se lee como "A se cumple si y solo sí se cumple B", forma análoga a la que usamos para definir los conceptos pero ahora la utilizamos para indicar la interdependencia entre dos propiedades.  

 

Y la respuesta a nuestra cuestión es que las dos propiedades son "equivalentes", hecho que se enuncia y se demuestra mediante el siguiente teorema.

 

Teorema de la equivalencia entre las propiedades de las figuras semejantes:

 

Dadas dos formas y cuatro medidas homólogas (parecidas), p1 y q1 de la primera figura y p2 y q2 de la segunda. Tenemos que:

 

Las razones entre las medidas de una figura respecto a las de la otra guardan proporción (son iguales) si y solo si la razón entre las medidas de una figura es igual a la razón entre las medidas de la otra figura.

 

Enunciado que en lenguaje matemático se escribe como:

 

p2/p1 = q2/q1 ⇔  p2/q2 = p1/q1

 

Y la demostración se basa en dos axiomas lógicos o verdades indemostrables pero asumidas por todos como son:

 

1º) Si tenemos una igualdad, A = B, en la que se afirma que lo que vale A es igual a lo que vale B, si hacemos la misma operación con A y con B los resultados seguirán siendo iguales, es decir si A es igual a B, A mas 4 será igual a B mas 4, o el doble de A será igual al doble de B o ......

 

2º) En una razón se puede simplificar factores comunes, es decir si una longitud es 4/6 de otra es lo mismo que decir, que la longitud es 2/3 de la otra  habiendo simplificado el factor 2 del 4 y del 6.

 

Para hacer la demostración la vamos a dividir en dos partes o dos implicaciones, en la primera vamos a demostrar que siempre que ocurra A entonces ocurre B y en la segunda al revés, siempre que ocurre B entonces ocurre A. Por lo que negamos el caso de que pueda ocurrir una y no la otra (¿Estáis de acuerdo?). Pues empecemos:

 

⇒

Si ocurre que p2/p1 = q2/q1 entonces multiplicando los dos valores por p1/q2 tenemos que

p1/q2 x p2/p1 = p1/q2 x q2/q1 y operando tenemos que (p1 x p2)/(q2 x p1) = (p1 x q2) /(q2 x q1).

Simplificando el factor p1 en la primera razón y el factor q2 en el segundo tenemos que

p2/q2 = p1/q1 es decir que ocurre lo que queríamos demostrar.

 

⇐

Si ocurre que p2/q2 = p1/q1 entonces multiplicando los dos valores por q2/p1 tenemos que

q2/p1 x p2/q2 = q2/p1 x p1/q1 y operando tenemos que (q2 x p2)/(p1 x q2) = (q2 x p1) /(p1 x q1).

Simplificando el factor q2 en la primera razón y el factor p1 en el segundo tenemos que

p2/p1 = q2/q1 es decir que ocurre lo que queríamos demostrar.

 

Lo que significa la equivalencia de dos propiedades es que son dos manifestaciones o puntos de vista distintos de una misma realidad (en este caso la Semejanza entre dos formas). Me explico:

 

Que dos formas sean Semejantes se manifiesta de dos maneras distintas y (en principio) aparentemente independientes que son, desde el punto de vista que contempla a las dos a la vez, que las medidas de una son proporcionales a las medidas de la otra, y desde el punto de vista de cada forma por separado, que las razones entre medidas de una se corresponden exactamente a las razones entre las medidas de la otra. Y las dos propiedades están absolutamente unidas, no pueden darse una sin la otra, responden a una única realidad y esta es que las dos formas son Semejantes.

 

De manera que podemos definir la semejanza de dos formas distintas, podemos decir que:

 

Dos formas son semejantes si y solo si las razones entre todas las longitudes de las líneas de los objetos que se parecen (se dice homologas) son iguales, es decir guardan proporción, llamandose al valor del resultado la razón de semejanza entre las dos formas.

 

O podemos decir que:

 

Dos formas son semejantes si y solo si las razones internas entre medidas de una forma guardan proporción con las razones entre las medidas homólogas de la otra figura.

 

Aunque en el caso de los polígonos vamos a simplificar estas propiedades, ya que comprobar la proporción de todas las razones posibles es una misión imposible puesto que se pueden establecer infinitas razones, y lo vamos a hacer de la siguiente manera.....

 

 

 

Polígonos Semejantes

 

Veamos el siguiente applet de GG

Luego podemos definir que dos polígonos son semejantes si y solo si se cumple:

 

1º) Que tienen los ángulos iguales en el mismo orden.

y

2º) Las razones entre los lados homólogos (los que están entre ángulos iguales) guardan proporción.

 

 

Excepto los triángulos que con cumplir una de las dos propiedades es suficiente, es decir:

 

Dos triángulos son semejantes si y solo si tienen los ángulos iguales en el mismo orden.

 

o también

 

Dos triángulos son semejantes si y solo si las razones entre los lados homólogos guardan proporción.

 

o también si y solo si tienen dos lados proporcionales y el ángulo que forman igual, dejandoos a vosotros que hagais la demostración.

 

Y es que los triángulos son los polígonos más sencillos y a la vez mas especiales, la propiedad de ser indeformables además de la utilidad práctica en el diseño de estructuras arquitectónicas resistentes, tiene consecuencias matemáticas importantes como ....

 

 

 

 

El Teorema de Tales

 

El teorema de Tales, cuyo autor anónimo no fué Tales pero que por honrar su figura ha pasado a la historia con su nombre, tiene el siguiente enunciado .....

 

 Dadas dos rectas cualesquiera y un haz de rectas paralelas que las cortan. Entonces ocurre que los segmentos  que se producen en una recta guardan proporción respecto a los segmentos que les corresponden en la otra recta.

Pero ¿Qué pasa con las áreas entre las formas semejantes? si la razón de semejanza entre las dos formas tiene un valor K, ¿Cuál será la razón entre sus áreas?, ¿Estará relacionada con el valor K? y si es así ¿Cuál es la relación?, ¿La podremos definir?. Veamoslo,.....

 

 

 

Las Áreas entre Formas Semejantes

 

Lo primero que vamos a hacer es experimentar y observar que ocurre con triángulos semejantes con razones de semejanza enteras, mediante este applet

Bien hagamos una tabla para reunir la información obtenida y encontrar la ley general que relaciona el valor de la razón lineal de semejanza con la razón entre las áreas.

La tabla debe de contener todas las acciones que hemos ejecutado en nuestra experimentación, es decir, debemos de partir de una columna para los valores de la razón lineal, la siguiente debe reflejar como se iban acumulando los triángulos en cada paso y la tercera el valor total de la razón entre áreas.......

 

Y a mi me ha dado:

En la segunda columna cuando he generalizado los resultados para k = n, he puesto el último sumando como 2n - 1 porque en el piso añadido habrá n triángulos en la base y  n - 1 en la base anterior mirando para abajo haciendo un total de 2n - 1 triángulos añadidos respecto a los que había en el anterior caso.

En la tercera he puesto n² (n al cuadrado) porque la pauta parece que está muy clara en los primeros casos.

Pero, ¿Qué tienen que ver las dos columnas? ¿Por qué la suma de los números impares me da el cuadrado perfecto?,....., además esta pauta que hemos definido por inducción ¿Es realmente cierta? ¿No habrá un valor de n donde falle?....

Para contestar estas preguntas vamos a hacer un razonamiento por inducción, pero previamente necesitamos demostrar las identidades notables, concretamente el cuadrado de una suma, veámoslo,....

 

 

 

Las Identidades Notables

 

 

 

La Demostración por Inducción

 

Bien vamos a demostrar por inducción el resultado que hemos obtenido mediante el razonamiento inductivo pero lo primero es aclarar este galimátias de palabras.

 

El razonamiento inductivo consiste en descubrir pautas y regularidades en casos concretos y sencillos que nos permitan generalizar un resultado para todos los casos. Como razonamiento fue muy usado en su forma mas radical o mejor dicho extrema por los primeros filósofos griegos, pero con el descubrimiento de los inconmensurables que desmontó el Universo Pitagórico Natural y fue creado desde la intuición inductiva (ver las Paradojas de Zenón), cayó en desgracia ya que se consideró que aunque las pautas o regularidades se cumpliesen en casos concretos o la percepción insinuase o indujese ciertos comportamientos generales, esto no garantizaba que ocurriese en otros casos donde no se hubiese experimentado o en definitiva que ocurriese siempre y en cualquier lugar, por lo tanto no se admitía al razonamiento inductivo como una demostración, es decir como un argumento que todo el mundo lo aceptase como indiscutible (ver el origen de las matemáticas y el descubrimiento de los inconmensurables). Sin embargo no dejó nunca de apreciarse como una herramienta importante de nuestro pensamiento para encontrar leyes generales y resolver problemas (en la revista Sigma es mencionado como una estrategia de resolución de problemas).

 

Hasta que los matemáticos encontraron una manera deductiva (es decir lógica, sujeta a las leyes del razonamiento deductivo) para demostrar los resultados que se conseguían mediante el razonamiento inductivo y a esta manera le llamaron demostración (deductiva) por inducción.

 

Recordemos nuestras preguntas después de realizar la tabla: ¿Por qué la suma de los números impares me da el cuadrado perfecto?,....., además esta pauta que hemos definido por inducción ¿Es realmente cierta? ¿No habrá un valor de n donde falle?. Y ahora vamos a demostrarlo que si es cierto mediante la demostración por inducción. Lo que no hay duda y es evidente es que al aumentar una unidad mas a los lados y pasar de n-1 unidades a n, se añaden n triángulos mas en la base y n-1 en la antigua base mirando hacia abajo es decir 2n -1 triangulos nuevos, por lo que el enunciado del teorema podemos escribirlo así (mirar la tabla):

 

Para cualquier número natural n ocurre que 1 + 3 + 5 + .....+ 2n - 1 = n²

 

y la demostración por inducción tiene tres pasos:

 

1º)  Se demuestra que en el caso concreto en el que n = 1 se cumple la propiedad y es evidente que:

 

2x1 - 1 = 1² ya que haciendo los cálculos da que 1 = 1.

 

2º) Se supone (hipotesis de partida) que se cumple para un valor n y entonces se demuestra que se cumple para el valor n + 1. Es decir:

Suponemos que para n es cierto que 1 + 3 + 5 + .... + 2n - 1 = n². entonces tenemos que demostrar que

 

1 + 3 + 5 + ..... + (2n - 1) + 2 (n + 1) - 1 = (n + 1)² que es el siguiente paso, o lo que es lo mismo si operamos

 

1 + 2 + 5 + ..... + (2n - 1) + (2n + 1) = (n + 1)², siendo 2n + 1 el siguiente impar que sale de operar 2 (n + 1) - 1

 

Y como 1 + .... + 2n - 1 = n² sustituyendolo obtenemos que

 

n² + (2n + 1) = (n + 1)² es decir que tenemos que justificar que

 

n² + 2n + 1 tiene que ser igual a (n + 1)², pero esto ya sabemos que es cierto porque es el desarrollo del cuadrado de la suma (por esto hemos demostrado las identidades notables).

 

3º) Luego la propiedad se cumple para todos los valores de n ya que al cumplirse para n = 1 por el paso 2º) sabemos que se cumple para n = 2, y por el paso 2º) para n = 3, y por el paso 2º) para n = 4, y por el .......

 

Luego si dos formas son semejante y su razón de semejanza es k la razón entre sus áreas es k².

 

Bueno seguimos haciendo trampas en cuanto que no hemos demostrado eso, solo lo hemos demostrado cuando k es natural y las formas son triángulos, pero que le vamos a hacer no se puede con todo.....

 

 

 

Pero el reto que tenemos pendiente con los triángulos es saber como se relacionan las medidas de los ángulos con las medidas de los lados clasificados por trios proporcionales entre sí por cada trio de ángulos, el reto tiene otra dificultad añadida porque la medida de los ángulos, la amplitud medida en grados, es de una naturaleza distinta a la longitud de los lados no pudiendose relacionarlos con las operaciones normales (no se pueden sumar amplitudes con longitudes, ni.....).

 

Así que vamos a intentar abordarlo en el siguiente capítulo "Los Triángulos".....