Las Paradojas de Zenón

 

 

 

 

1) El problema de los fenómenos continuos

 

 

Se observa en la Naturaleza multitud de fenómenos en los que los cambios se producen pasando por todos los estados intermedios es decir no se producen a saltos, por ejemplo:

 

Para movernos desde un punto del espacio a otro punto tenemos que aceptar que tenemos que pasar por todos los puntos intermedios, es decir que si vamos a hacer una carrera de 100 m. lisos nunca ocurre que en un momento de estar en la salida A aparezcamos en la meta B es decir que no podemos movernos a saltos, inevitablemente tenemos que recorrer todas las distancias intermedias.

 

Un coche no puede pasar en un momento de estar parado a tener una velocidad de 100 km/h, antes tiene que pasar por todas las velocidades intermedias, lo podrá hacer más rapidamente o más lento pero tiene que pasar por todas, siendo dificil determinar en que momentos pasa por cada una de las velocidades.

 

Cuando un coche en movimiento quiere cambiar la dirección de su movimiento, por ejemplo 90º, no puede realizarlo en un instante, inevitablemente tiene que ir cambiando el ángulo de su dirección pasando por todos los ángulos hasta alcanzar los 90º, su trayectoria describirá una curva y nunca podrá ser un ángulo recto que indica un cambio brusco de dirección, además se observa que si su velocidad es moderada lo podrá hacer en un espacio menor (tendrá más margen de maniobra) que si su velocidad es mayor, es decir que dado un espacio de maniobra a menor velocidad cambiara más rapidamente de dirección (respecto al espacio de maniobra, no respecto al tiempo, se dice que tiene más margen de maniobra, hecho imprescindible para aparcar por ejemplo).

 

Cuando un ser vivo se encuentra en periodo de crecimiento, nunca se observan cambios bruscos (instantaneos) en sus dimensiones, si se observan distintos ritmos de crecimiento en las distintas etapas del crecimiento, pero si su peso ha crecido en 1 kgm. inevitablemente en el proceso ha pasado por todos los pesos intermedios de manera imperceptible hasta llegar al kilo de aumento.

 

Cuando se tiende la  ropa humeda para secarla, no se seca instantaneamente si no que se  va secando poco a poco pasando por todos los grados de humedad, podemos considerar que en un momento dado está seca pero es dificil determinar en que momento exacto llega a esta condición.

 

En un atardecer los colores pasan de amarilllo a naranja a rojos, morados,… negro; podemos identificar cuando es amarillo, cuando es naranja, pero no ocurre que en un instante se pase del amarillo al naranja sino que se pasan por todos los tonos intermedios y nos es muy dificil determinar cuando el color deja de ser amarillo a ser naranja; además dependiendo de la latitud y de la epoca del año estos atardeceres se producen en más o menos tiempo, luego estos cambios se producen más o menos rápidamente pero aunque el proceso sea lento es dificil determinar los cambios de colores,

 

Hay multitud de fenómenos continuos, la lista de ejemplos podría ser mucho más grande, pero ante la pregunta ¿Cuál es la naturaleza de las propiedades continuas y de los fenómenos continuos?, podemos concretar que lo que tienen en común todos es:

 

1) La multitud de los estados o valores intermedios que hay (aunque la variación sea pequeña) y la difícultad de diferenciar los distintos estados entre sí luego ¿Cómo se puede medir y controlar todas las cantidades posibles de las magnitudes continuas? cuando son tantas y aparecen difusas. Este problema condiciona el siguiente problema, ya referente a los fenómenos.

 

2) La dificultad de determinar ¿Cómo se pasa de un valor o estado a otro? en el transcurso y desarrollo del fenómeno.

 

3) Y por tanto, ¿Cómo controlar o medir los distintos ritmos (velocidades) a los que se producen los cambios de estados?.

 

Así que esta parte de la Historia de las Matemáticas la vamos a centrar en la aventura que supuso la busqueda de las respuestas a estas tres cuestiones fundamentales sobre los fenómenos continuos.

 

 

 

 

 

 

2) Sobre el Tiempo, el Espacio, la Masa y los Fenómenos Continuos Básicos

 

 

Para centrar el problema vamos a estudiar ligeramente las magnitudes continuas básicas: el Tiempo, el Espacio y la Masa; y los fenómenos continuos asociados a ellas.

 

Tiempo:

 

Unas ideas iniciales sobre el tiempo son: Que lo dividimos en pasado, presente y futuro. Que es unidireccional, es decir que desde el pasado, el presente transcurre continuamente hacia el futuro. Que lo medimos en intervalos de tiempo con unidades regidas por fenómenos naturales como días, meses, años.

 

Intuitivamente se identifica como su unidad última al momento cuya percepción la adquirimos como caso extremo de un intervalo de tiempo , el inicio de sensaciones sorprendentes, el inicio de una intuición en la que comenzamos a entender una situación que se nos presentaba como enigmática y misteriosa (Eureka), cuando se apaga la luz y se pasa a la oscuridad (y viceversa), cuando sentimos una sorpresa que nos cambia (instantáneamente) nuestro estado de ánimo, el momento del nacimiento ó el de la muerte, hasta identificarlo con el presente puro (el momento presente) es decir el presente es un momento que dada su futilidad y nuestra dependencia al tiempo se nos hace imposible diferenciarlo del siguiente momento.

 

Y se entiende que el tiempo es un trancurso continuo de momentos.

 

Espacio:

 

Sobre el espacio se distingue que los objetos matéricos tienen formas que ocupan el espacio, el lugar del espacio que ocupan se define como la magnitud posición en el espacio del objeto

 

Todas las formas de los objetos matéricos son sólidos, cuya magnitud es el volumen, y en ellos se identifican:

Las superficies como las formas borde ó frontera de los sólidos (el envoltorio) y su magnitud es el área.

Las líneas como los bordes de las superficies (magnitud longitud).

Los puntos que se entienden como las formas más simples que hay en el espacio y se perciben como elementos frontera de las líneas, es decir donde comienza ó acaba una linea, ó donde se cortan dos líneas.

 

Por otra parte en un sólido, por ejemplo de barro, podemos cortarlo con un alambre y descubrir las distintas superficies que lo compone, es decir que podemos considerar que los solidos están formados por distintas superficies superpuestas si hacemos cortes horizontales ó como las capas de una cebolla.

 

En una superficie se pueden distinguir distintas lineas entre sí, no hay mas que coger un sólido mirar su silueta y según giramos el sólido observaremos las distintas lineas (siluetas) que forman la superficie del solido, luego una superficie se puede considerar que está formada por distintas líneas.

 

Análogamente cosideramos que las líneas están formadas por puntos que "yacen seguidos" unos de otros.

 

Además ocurre, como con los momentos, que dada una línea con extremos (inicial y final) distinguimos el punto donde comienza la línea como frontera de donde no hay línea y donde comienza la línea pero nos es imposible de diferenciar y separar este punto del resto de la línea.

 

 

Masa:

 

Solo comentar su dependencia del Volumen, mediante la definición de Masa como Volumen por Densidad.

 

 

Los fenómenos continuos básicos:

 

Distinguimos dos tipos de fenómenos continuos en los objetos matéricos en el transcurso del tiempo:

 

1) Los objetos cambian de forma y de cantidad en sus magnitudes, es decir que sus longitudes, áreas, volúmenes y masas van cambiando según transcurre el tiempo.

 

2) Por otra parte se entiende que muchos objetos se mueven y cambian de posición en el espacio según transcurre el tiempo.

 

Estos fenómenos continuos son los que vamos a estudiar como modelos de la multitud de fenómenos continuos que se dan.

 

 

 

 

3) Las tres concepciones de la naturaleza del Continuo

 

 

En un momento dado había en Grecia tres corrientes de opinión sobre la Naturaleza del continuo

 

a) La concepción Natural (los Pitagóricos)

 

Los Pitagóricos opinaban que el continuo era finitamente divisible hasta llegar a unas unidades últimas indivisibles, así los momentos eran pequeños intervalos imperceptibles de tiempo y los puntos pequeñas esferas invisibles para nosotros y ambos elementos no se podían dividir, es decir que los momentos eran tiempo y los puntos espacio propiamente dichos, indivisibles.

 

Para ellos el tiempo estaba formado por la sucesión de momentos, uno detrás de otro

 

Mientras que las lineas estaban formadas por puntos seguidos uno detrás de otro (suma de puntos), las superficies se descomponen en líneas de puntos y por tanto en puntos (suma de líneas) y  los sólidos por capas o superficies envolventes de puntos (suma de superficies).

 

Por último entendían que la masa estaba formada por puntos de masas elementales, es decir que por ejemplo el cuerpo humano estaba formado por puntos de carne, de huesos, de pelo, … etc.

 

Así afirmaban que todo es número, con lo que parece que querían decir que los intervalos de tiempo se definen según el número de momentos que lo forman, y los objetos matéricos se podían definir según el número de puntos de las distintas sustancias que los conforman.

 

Por tanto explicaban que los cambios en las formas y magnitudes de los objetos matéricos sucedían mediante cambios en el número de puntos matéricos que formaban el objeto según transcurren los momentos del tiempo, y los movimientos espaciales lineales consistían en recorrer los puntos que formaban las trayectorias según transcurren los momentos del tiempo.

 

b) La concepción Real (los Atomistas)

 

Otros opinaban que el continuo era infinitamente divisible (infinito potencial), es decir que en cuanto existiese un intervalo de tiempo ó una parte del espacio no nulos estos siempre se podían dividir.

 

c) La concepción Monista (los Eleáticos)

 

Por último estaban los que opinaban que el continuo era indivisible, decian que el tiempo-espacio es uno y no se puede dividir y negaban que se produjesen realmente cambios, estos solo son aparentes.

 

 

En las discusiones que se suscitaban entre los partidarios de las tres corrientes evidentemente los que peor lo tenían eran los eleáticos, ya que su postura era la más contraria a la intuición, evidentemente el tiempo se media dividiendolo en días, semanas , meses y años, y cualquier longitud por ejemplo una vara de mimbre continua es facilmente divisible en dos partes.

 

Por tanto a un discipulo de esta corriente, Zenón, se le ocurrió una manera de demostrar sus tesis de una manera indirecta, la dialéctica o razonamiento al absurdo, que no consistía en demostrar que su opinión era la verdadera sino  que demostraba que las tesis Naturales eran absurdas y por tanto falsas y las Reales también, luego concluía que si no podían ser verdaderas entonces la tesis Monísta tenía que ser verdaderas.

 

 

 

 

 

4) Las paradojas de Zenón

 

 

Zenón argumentó con varias paradojas o aporías (dificultades) de las cuales las más conocidas son cuatro, dos contra la concepción Natural (el carro y la flecha) y dos contra la concepción Real (Aquiles y la Tortuga y la Dicotomía), de las cuales voy a hacer una interpretación libre y no textual, en ellas se profundizan sobre las preguntas fundamentasles planteadas en el apartado 1) sobre los fenómenos continuos y se cuestionan las dificultades más importantes que hay que tener en cuenta para responder a dichas preguntas.

 

Contra los Naturales (versión libre del carro y la flecha en la siguiente presentación de Geogebra):

Hay que constatar que desde nuestras limitaciones Naturales, todas las simulaciones artificiales de movimientos que realizamos los seres humanos estan marcados por estas paradojas, cuando reproducimos movimientos mediante imágenes sea en cine, televisión u ordenador, los movimientos se producen a saltos (25 por segundo en el caso del cine y la televisión) y los objetos desaparecen y aparecen en nuevas posiciones (fotograma a fotograma en cine y televisión, mientras que en los ordenadores los pixels se apagan y se encienden en otras posiciones para simular el movimiento).

 

Contra la concepción Real

 

Las paradojas de Aquiles y la Tortuga y la de la Dicotomia se pueden sintetizar de la siguiente manera, tomando a la masa como infinitamente divisible (lo que no es cierto), con la paradoja de Hércules y la Tortuga:

 

Cuenta la leyenda que un buen día una tortuga se encontró con Hércules y le propuso la siguiente apuesta.

 

"Qué fuerte eres Hércules, creo que eres el humano más fuerte del Universo , pero a que no eres capaz de levantar 10 Kg. distribuidos en unas pesas que tengo yo".

 

"¿Cómo que no?", inquirió Hercules sorprendido, "cuando quieras me das las pesas y lo haré".

 

Entonces la tortuga sacó un maletin de dentro de su caparazón y abriendolo mostró a Hercules un juego de infinitas pesas y propuso a Hercules la siguiente cuestión:

 

"Bien pues primero coge la pesa de 9 Kg. , después la de 900 gr. ó 0,9 Kg. , luego la de 0,09 Kg. y otra de 0,009Kgm. y …… así sucesívamente".

 

"Pero eso es imposible , ¿Crees que puede haber algún hombre que pueda acabar un proceso que no tiene fin?" (Paradoja de Aquiles y la Tortuga).

 

"Creía que podías levantar 10 Kg. pero veo que no , luego he ganado la apuesta", respondió la tortuga.

 

"No", dijo Hércules, "como soy semidios, soy inmortal, luego lo voy a hacer y aunque me cueste toda la eternidad lo conseguiré".

 

"Tal vez", replicó la tortuga, "pero no sé en que momento lo conseguirás y aunque tengo fama de vivir mucho tiempo seguro que no lo podré ver, pero, de todas formas , si te comprometes a seguir el orden que yo te diga estoy segura de que no lo conseguirás nunca".

 

"Que dices , estoy seguro que sí , acepto la apuesta aunque no se como podrás comprobarlo".

 

"Entonces, te sugiero, que como el tema va para largo para que no te canses y reserves las fuerzas, comiences por la menos pesada.

 

"Si , eso he de hacer , ahora verás tortuga cual es mi fuerza".

 

Pues bien la tortuga se cansó de esperar, se fue (con su velocidad acostumbrada) y dice la leyenda que Hércules aún continua buscando la pesa más ligera y que todavía no ha empezado a levantar los diez Kg. (Paradoja de la dicotomía), de manera que se ha quedado trabado sin poder comenzar su treceavo trabajo y ya no puede hacer ninguno más.

 

Por otra parte no se sabe como consiguió la tortuga ese juego de pesas, que nadie ha vuelto a ver.

 

Es decir la paradoja de Aquiles y la Tortuga incide en la imposibilidad de los seres humanos de realizar y concluir procesos infinitos.

 

Mientras que la paradoja de la Dicotomía presenta el aspecto más dramático del problema, como se produce el movimiento continuo si dado un momento o un punto no existe el momento ni el punto siguiente, si el movimiento continuo se caracteriza por pasar por todos los puntos intermedios como se pasa de un punto al siguiente, si no existe el punto de al lado.

 

Aunque en realidad la masa tiene estructura Natural porque la materia parte de una serie de partículas elementales que tienen  masa, pero la energía, en general, si tiene estructura Real

 

Ya que lo que ocurrió es que los propios Pitagóricos descubrieron que el continuo no era Natural sino Real, con el Descubrimiento de los Inconmensurables.