El Descubrimiento de los Inconmensurables

 

 

 

 

 

1) El Proceso de Antifaiëresis

 

Los Pitagóricos desde su concepción Natural, tenían un procedimiento para comparar distintas longitudes entre si llamado el proceso de antifaiëresis o algoritmo de Euclides que consistía en lo siguiente:

Pero ocurrió (probablemente) que trabajando con los pentágonos regulares se quiso hallar la razón entre la diagonal del pentágono y su lado, y se descubrió que esto no era así.

 

 

 

 

 

2) El Descubrimiento de los Inconmensurables

 

Observar la figura que forman el pentagono regular y sus diagonales , es relatívamente fácil admitir a simple vista, que el triángulo ABD es isósceles es decir que los lados BA y BD son de igual longitud, así como que el cuadrilátero FDEG es un rombo donde los cuatro lados miden igual (la demostración la podeis ver en este enlace...).

Nos encontramos en un proceso indefinido (que no tiene fin) de particiones de segmentos cada vez más pequeños ya que:

 

Si el último pentágono tuviese de lado 1 punto entonces la diagonal mediría 1 punto y un poco más (la punta de la estrella)

 

Mientras que: Si en el último paso la diagonal midiese 1 punto, el lado mediría menos.

 

Luego en ambos casos el punto pitagórico se podría dividir y este proceso seguiría indefinidamente hasta que no quedase nada que dividir, luego parece que la naturaleza del continuo es infinitamente divisible y que los puntos y los momentos como unidades últimas del espacio y del tiempo no miden nada, son nulos, ni ocupan espacio ni trancurre tiempo en ellos ¿¿¿???.

 

 

 

 

 

3) Las consecuencias del descubrimiento

 

 

Las consecuencias del descubrimiento fueron muy variadas e importantes vamos a referirnos a las que hacen referencia a las cuestiones planteadas sobre los fenómenos continuos. En principio dió la razón a la concepción Real ó infinítamente divisible pero esta opción presentaba problemas muy graves y difíciles de resolver, de hecho representaba un paso atrás respecto a la concepción Natural, ya que los problemas aparentemente resueltos en esta concepción volvían a replantearse y no tenían una solución evidente, si no todo lo contrario se habría una nueva perspectiva monstruosa e ininteligible de la realidad ya que, por ejemplo:

 

1) ¿Cómo es la naturaleza del continuo Tiempo-Espacio? Si en los momentos no transcurre tiempo, ni los puntos ocupan espacio, ¿Cómo están formados los intervalos de tiempo como suma de momentos que transcurren, si en estos no hay tiempo? ó ¿Cómo se forman las líneas a partir de los puntos si estos no ocupan espacio?

 

2) Además estas parejas de segmentos que no admiten una unidad de medida común y por lo tanto no admiten compararse en forma numérica (de número racional) no son un caso aislado, pronto se descubrieron muchas otras parejas de longitudes inconmensurables (que no admiten unidad común de medida) y se observó que fijado un segmento como unidad de medida había muchísimos más segmentos irracionales (que no admitían ponerse en razón con la unidad) que segmentos racionales con el segmento unidad (que se podían poner en razón con el segmento unidad). Por tanto perdieron a los números como forma general de expresión y codificación del resultado de comparación entre segmentos ya que estos (los números racionales, se entiende) se mostraban tremendamente limitados para la cantidad de casos irracionales que se encontraban.

 

3) ¿Cómo trabajar con los procesos infinitos?, si como decía Zenón en Aquiles y la tortuga somos incapaces de desarrollar un proceso infinito de pasos hasta el final, y sin embargo sabemos que la naturaleza del continuo está formado por este tipo de procesos, como hemos descubierto al comparar la diagonal con el lado del pentágono.

Aunque al poco Eudoxo creó el método de exhaución que proporcionó un procedimiento indirecto (y por tanto con un número finito de pasos) para demostrar lo que no podía ocurrir. Método que se mostró muy práctico para demostrar áreas y volumenes de cuerpos geométricos, pero esto es otra historia (la de los métodos y procedimientos matemáticos, que me gustaría relatarles en otra ocasión).

 

4) Por tanto ¿Cómo controlar los estados intermedios de los fenómenos continuos si estos se presentan como infinitos, inaccesibles y numéricamente incodificables?.

 

5) La paradoja de la dicotomía se presenta con toda su virulencia ¿Cómo se pasa de un estado a otro si no existe el estado de al lado o siguiente?, y por tanto ¿Cómo controlar los distintos ritmos o velocidades de los cambios de estado?.

 

La respuesta que se produjo en Grecia se puede sintetizar en los siguientes puntos:

 

1. Se cuestionó la existencia real de los objetos matemáticos, llegando a la siguiente conclusión: Los objetos matemáticos existen como ideas del ser humano que tienen representación en la realidad.

 

2. Por otra parte se desconfió de la intuición y el razonamiento inductivo (radical que era el que usaban) y guiaron sus esfuerzos en la creación del Método Axiomático Deductivo, y esta es la parte fundamental de la otra historia a la que me he referido antes, consiguiendo el primer modelo de este Método con los Elementos de Euclides, en esta obra se deshacía la concepción espacial de los Pitagóricos y se definían los objetos espaciales de esta manera (ya como objetos ideales no reales).

 

Los puntos son los elementos espaciales que no tienen dimensión (dimensión nula)

Las lineas son las que solo tienen una dimensión, la longitud, la largura.

Las superficies las que tienen dos dimensiones, largo y ancho.

Los sólidos las que tienen tres dimensiones, largo ancho y alto

 

Aunque los puntos están en las lineas las cuales están en las superficies que a su vez están en los sólidos, la naturaleza teórica de estos elementos no es la misma, son de distinta dimensión y las longitudes se miden con segmentos que no sirven para medir superficies ya que no tienen ancho, por lo que las áreas se miden con cuadrados que son superficies y los sólidos se miden con cubos. Produciendose una escisión o separación entre los distintos elementos geométricos.

 

3. Los números (que con los pitagóricos habían tenido tanta importancia) quedaron relegados detrás de la geometría porque no abarcaban la complejidad del continuo.

 

4. Y como si fuese un tabú, no se mencionaba ni se referían nunca a la monstruosa e ininteligible naturaleza del continuo dejando de lado todo el aspecto fenoménico planteado y procediendo a estudiar la Naturaleza a partir de los casos concretos e inmediatos.

 

Estas conclusiones representaban una fuerte regresión respecto a la teoría Pitagórica y tuvieron que pasar alrededor de 2000 años para que se retomase el problema del continuo y se avanzase en su resolución.

 

El primer paso fue que se necesitaba una buena herramienta de codificación para trabajar con las cantidades de las magnitudes contínuas, los griegos utilizaban segmentos para representarlas, como codificación resulta elemental (es coger directamente una cantidad de lo que quieres representar) y era incómodo de representar y operar con ellas (dibujando con regla y compás).

 

Por tanto el problema era como conseguir una nueva codificación numérica que representase todas las cantidades posibles

de las magnitudes continuas, y la solución nos la trajeron los árabes y su manera de codificar las medidas con sus números, que a su vez les habían llegado de la India, ver "Los Irracionales".

 

 

Pero por otra parte aunque la conmoción cultural que supuso el descubrimiento de los inconmensurables fue terrible, no por ello, de nuevo, se quedaron fascinados con la estética de los objetos matemáticos, como el pentágono regular y su correspondiente estrella de cinco puntas. El asunto es que se dieron cuenta que la "razón" entre la diagonal y el lado del pentágono era estéticamente preciosa pues representaba las dimensiones del rectángulo perfecto (el que no es alargado, ni cuadradote) y le llamaron la razón aúrea, que tiene una presencia especial tanto en la Naturaleza como en el Arte. De manera que si quereís saber de que hablo, os invito a abrir "La Razón Aúrea",.....