Los Movimientos y las Transformaciones en el Plano

 

 

Los Conceptos

 

Las Transformaciones en el plano son acciones (movimientos) por las que "todos" los puntos del plano cambian de posición, o lugar donde se encontraban al principio, salvo excepciones que se quedan donde estaban y se llaman puntos dobles (en cuanto que coinciden con ellos mismos después de "transformarse").

 

Las transformaciones más sencillas son los movimientos de los objetos por el plano siendo los básicos las Traslaciones o movimientos rectos y los Giros o movimientos circulares en torno a un punto.

 

Hay otro tipo de transformaciones mas sofisticadas extrechamente relacionadas con la "realidad" física y que tienen una potencia matemática impresionante, como son las Simetrías y las Homotecias o Semejanzas.

 

Pero en cuanto a la creación de nuevas situaciones inéditas las Transformaciones tienen una potencia impresionante, tanto en número como en imaginación. Así veremos las Inversiones donde los puntos de dentro de unas circunferencia saldrán fuera mientras que los de fuera entrará dentro y las rectas se convertiran en circunferencias y las circunferencias en rectas,.... Y las Transformaciones de Agecaf (que es un joven colega matemático de dieciseis años que colabora conmigo en este trabajo) en el que todos los puntos del plano se sumergen en una circunferencia, deformandose las formas básicas en nuevas formas no clasificadas.

 

Así que empecemos por las transformaciones más sencillas que son .....

 

 

 

Las Traslaciones por un Vector

 

Para definir exactamente un movimiento recto en el plano necesitamos saber dos cuestiones ¿Cuál es la distancia que vamos a recorrer? y ¿Hacia donde tenemos que ir?. Y la respuesta a estas preguntas nos la van a dar los vectores de traslación que nos van a indicar la longitud del movimiento y su dirección y sentido. Pero ¿Qué es un vector? y ¿Qué es eso de la dirección y el sentido?. Veamoslo en la siguiente presentación en GG

Como observareís en las traslaciones no hay ningún punto doble, todos los puntos del plano se mueven. Pero hablaremos después de ver los giros de la propiedad axiomática que cumplen y su relevancia matemática. Ahora describamos ......

 

 

 

Los Giros

 

Para definir un movimiento circular o Giro necesitamos saber tres cuestiones ¿En torno a que objeto o posición giramos?, ¿Cuál es el ángulo de giro? y ¿Haciá donde giramos?. Vamos a describirlos en la siguiente presentación

Observar que en los Giros solo hay un punto doble, que es el centro del giro, ya que es el único punto que no se mueve.

 

Como ya hemos visto las Traslaciones y los Giros son los movimientos más simples, pero con ellos se puede definir cualquier movimiento de los objetos en el plano indeformable, ¿Qué quiero decir?:

 

Que el Axioma o propiedad básica indemostrable pero evidente que cumplen tanto las traslaciones como los giros es que las formas que se mueven conservan todas sus medidas iguales, siendo esta la propiedad en la que se apoyó Tales para realizar su primera demostración, utilizando un giro de 180º, y la que hemos usado nosotros para demostrar el teorema de las paralelas, utilizando una traslación. Aunque parece ser que no corresponde a la "realidad" ya que según la teoría de la relatividad dependiendo de la velocidad con la que se realice el movimiento se producen deformaciones en las medidas espaciales del objeto que se mueve.

 

Pero además de utilizarlas para realizar demostraciones usando su axioma básico, las traslaciones y los giros se muestran como los elementos básicos de todos los movimientos continuos posibles en el plano en cuanto que el teorema fundamental de la geometría dice que todo movimiento en el plano se puede descomponer en simultaneos y sucesivos giros y translaciones, tal y como hemos diseñado nuestros medios de transporte, como los coches, y ocurre en los movimientos de los cuerpos espaciales: desde las rotaciones de la Tierra y demás cuerpos celestes, hasta sus traslaciones regidas por la ley de la gravedad..

 

 

 

Ahora vamos a hablar de otra transformación, que también es un movimiento pero especial, y que cumple unas propiedades que se utilizan mucho en las demostraciones y resolución de problemas de tal manera que en la revista Sigma, aludida en la introducción de las Matemáticas, se la nombra como una estrategia de resolución de problemas.

 

Y me refiero a.....

 

 

 

Las Simetrías

 

Vamos a presentar a las Simetrías mediante este applet en el que en los dos últimos pasos se os va a requerir que realiceis una actividad, para ello teneis que usar las siguientes herramientas:

1º) En el noveno icono desde la derecha, cuarto por la izquierda, por defecto está la opción refleja objeto en recta, activándolo y ejecutándolo en el orden que indica la ayuda (arrastrar el ratón sobre todo el triángulo para seleccionarlo como objeto) realizaréis las simetrías.

2º) Desplegando el tercer icono tenéis las opciones para dibujar segmentos y vectores entre los puntos del objeto y sus simétricos.

3º) Desplegando el sexto botón encontraréis la opción para dibujar arcos a partir del centro y los dos extremos (cuidado al elegir el primer punto del arco ya que de los dos arcos posibles siempre dibuja el de sentido antihorario).

4º) Si queréis realizar ángulos pulsar el octavo icono, que por defecto es el apropiado, pulsando el vértice y los dos puntos, pero como con los arcos tener cuidado con el primer punto que elegís ya que el ángulo lo dibujará en sentido antihorario.

5º) Cuando queráis cambiar el color o grosor o .... de un objeto poner el cursor sobre él, pulsar el botón derecho y elegir en el menú contextual la última opción, propiedades, activar la pestaña color o estilo o ....

6º) Si quereis borrar o deshacer la última acción teneis dos opciones, como antes pero en el menú contextual elegís borrar o en el comando edición deshace.

Bueno ya hemos visto esta "joya" de las Matemáticas que es la Simetría, aunque solo la hemos "visto" como transformación o movimiento espacial, la llamo "joya" no solo porque como movimiento exige traspasarnos a otra dimensión, ya que partiendo del plano nos movemos en el espacio para volver a llegar al plano pero al  otro lado del espejo, !!!!!.

 

También es una "joya" porque:

 

1º)  Desde la perspectiva de las posiciones que se toman en el espacio, la simetría es la pieza clave por la que se produce todo el proceso evolutivo de la energía-materia del Universo desde el Big Bang, tal y como lo presentamos en los artículos segundo y tercero de la parte del Proyecto. Aunque la simetría perfecta no sucede nunca, siendo posible la probabilidad de que ocurra es nula, por lo que siempre hay cierta asimetría  unida a ella que es la que posibilita el desarrollo evolutivo generado en el universo.

 

2º) Desde la perspectiva de los lugares geométricos está presente en las trayectorias de las formas espaciales en el macrocosmos, las elipses, parábolas, ... que hacen los planetas y satélites que tienen uno o dos ejes de simétría (ver el capítulo de las Conicas).

 

3º) Desde la perspectiva de las formas está presente en las formas que toman los cuerpos espaciales del macrocosmos, pero sobre todo en las formas biológicas por una razón "económica", la cantidad de información genética acumulada en el ADN se reduce a la mitad del cuerpo, siendo la misma información para la otra mitad solo que al otro lado del espejo.

 

4º) Es una potente herramienta matemática para hacer demostraciones, que ya hemos utilizado en la demostración de la distancia de un punto a una recta en la que la solución es el segmento doble de la simetría observada, y la seguiremos utilizando en otras demostraciones. También se utiliza como estrategía de resolución de problemas usandola para simplificar los problemas, tal y como ya hemos expuesto que lo hacemos ciertos seres biológicos para economizar nuestra información genética.

 

5º) Por su impresionante componente estético y su equilibrio que transmite la serenidad  y tranquilidad que genera su orden aunque la forma originaria sea un compendio de imaginación y fantasía como la de la mariposa de la foto.

 

Y es que en definitiva, la simetría no se reduce a los objetos geométricos o espaciales, si no que transciende a otros muchos campos o perspectivas de la realidad, como las relaciones sociales, emocionales, artísticas,....

 

Y es por todo esto que es una auténtica "joya".

 

Las Homotecias

 

La siguiente transformación  describe el efecto visual que se produce en un observador cuando se acerca o aleja de él una forma que se mueve, de tal manera que se irá haciendo más grande (cuando se acerca) o más pequeña (cuando se aleja), las distintas formas que ve se dicen entre sí que son semejantes, es decir iguales de forma pero con distinto tamaño y estudiaremos sus relaciones en el siguiente capítulo, pero la homotecia como transformación (acción que modifica la posición de los puntos del plano) se entiende como un movimiento de expansión radial (o contracción) a partir de un punto (llamado centro de la homotecia) regido por una razón de la homotecia K, según la cual los puntos se expandiran a K veces de la distancia a la que se encontraban del centro, es decir, si K = 2 cualquier punto del plano se alejará radialmente del centro al doble de la distancia a la que se encontraba, y si K = 0,5 entonces, todos se acerarán al centro a la mitad de la distancia que tenían del centro. Pero lo mejor va a ser que lo veamos en la siguiente presentación.

Por último comentarles que, por ejemplo, pueden borrar la elipse y dibujar cualquier otro objeto, (segmento, recta, circunferencia, arco, sector, polígono,.....etc), y realizar sus transformaciones de la siguiente manera:

1º) Para realizar las inversiones hay que seleccionarlo desplegando el noveno botón (el de las transformaciones), y seleccionar el objeto y a continuación la circunferencia.

2º) Para realizar las transformaciones de Agecaf primero  hay que colocar un punto sobre la línea a transformar (activando el segundo botón). después desplegar el último botón y elegir la transformación a realizar siguiendo los pasos de la ayuda. Después hay que desplegar el cuarto botón y elegir la última opción, lugar geométrico, a continuación pulsar el punto puesto y su transformado y se transformará toda la línea.

 

Y como ya hemos anunciado, vamos a comenzar con el estudio de las formas geométricas empezando como continuación de este artículo con las Formas Semejantes.....