El Nacimiento de las Matemáticas

 

 

 

Hace mucho tiempo los griegos pasaron por una época de pobreza que les obligó a emigrar en oleadas organizadas fundando ciudades-colonias en el Mediterráneo, primero en el Asia Menor posteriormente en Sicilia, sur de Italia, Mar Negro llegando hasta Crimea y por último en lo que ahora es Francia y España. Dada su habilidad marinera, mantuvieron las relaciones entre las diversas colonias y la propia Grecia  comerciando con las mercancías que producían ellos y los pueblos que habitaban en torno a sus colonias.

 

De manera que en los continuos viajes y contactos con otras culturas, en sus momentos de ocio surgió una inquietud cultural que consistía en informarse de las explicaciones que daban los diferentes pueblos con los que tenían contacto sobre cómo y por qué se producían los hechos (como, por ejemplo, los rayos y los truenos). Y en el contraste o puestas en común que hacían de los mitos y leyendas que narraban de distinta forma los mismos hechos llegaron a la conclusión que todos, incluidos los suyos, aunque contuviesen profundas verdades sobre la vida no eran verdaderos, eran todos falsos, ficciones literarias, y se propusieron a descubrir que es lo que ocurría de verdad.

 

Hacia el año 600 A.C. estas inquietudes culturales maduraron en su sociedad de manera que a uno de los que popularmente llamaban los Siete Sabios de Grecia, Tales de Mileto, se le considera como el creador o padre de la Filosofía Griega (literalmente Amor a la Sabiduría) porque consiguió formular el problema del Conocimiento de la Verdad de forma que fue asumido por los filósofos griegos contemporáneos y posteriores.

 

Entendía Tales que observando las cosas en la realidad, percibimos que en ellas se producen continuos cambios de apariencia pero afirmaba que también tiene que haber una esencia, que llamo Arjé, de fondo inmutable que los identifica, por ejemplo, todos los seres humanos somos distintos y cambiamos continuamente en el transcurso de nuestras vidas, pero debe de haber un sustrato inmutable común a todos que hace que los seres humanos seamos distintos de las demás cosas y que nos caracteriza a todos ¿Pero cuál es ese arjé?.

 

Por tanto la labor que propuso Tales era que había que desvelar (quitar el velo) o quitar el manto (descubrir)  de las apariencias y cambios que percibimos hasta encontrar la esencia inmutable de las cosas.

 

Pero lo más sorprendente fue que para corroborar sus ideas anunció que había encontrado unos objetos geométricos (que todos entendían que eran reales) en los que había descubierto que tenían unas propiedades inmutables que se cumplían siempre (en el pasado, presente y futuro) y en cualquier lugar del espacio, y por tanto tenían que ser propios de la esencia de esos objetos. Y además de enunciarlos daba una demostración (de la palabra griega deyknimi, hacer ver) para que no hubiese ninguna duda por parte de nadie de que lo que afirmaba el enunciado era verdad, y a cada enunciado y su demostración le llamó teorema.

 

Así el primero que presentó fue:

 

 

Primer Teorema de las Matemáticas

 

Enunciado:

 

Dadas dos rectas que se cortan, los ángulos opuestos que se forman son de igual medida o amplitud

Demostración:

 

 1º) Gira el ángulo rojo 180º en torno a su vértice y observa que se superpone al verde coincidiendo con él, ya que cada semirrecta gira 180º y se pliega sobre la semirrecta del otro lado (mueve el deslizador n desde el valor 0 a 180 arrastrando con el ratón hacia la derecha el punto que define el valor del deslizador).

 

2º) Observa que esto ocurre con cualquier par de rectas que se corten, mueve los puntos azules de la derecha y define cualquier ángulo repitiendo en cada nueva situación el paso 1º)

 

3º) Por último, esto ocurrirá exactamente igual en cualquier lugar del espacio en el que se encuentren las rectas (mueve el punto A), ahora, antes y en cualquier momento del futuro, es decir, siempre.

 

¿Lo ves?, ¿Estás de acuerdo?.

 

 

 

Lo importante no era la propiedad en sí, una evidencia seguramente observada anteriormente por muchas personas, hacia miles de años que estaban construidas las pirámides de Egipto y los conocimientos de geometría aplicada a la arquitectura eran bastante más complejos que esta propiedad, pero lo importante era que el enunciado es verdadero siempre en cualquier lugar e indiscutible, es decir, que no podía ser rebatido por nadie con sentido común dada su demostración y por tanto debía ser aceptado por todos.

 

Tales presentó otros cuatro teoremas geométricos y solo utilizó giros y traslaciones para realizar sus demostraciones, llamando a este compendio de conocimientos Matemáticas que literalmente significa “lo que se sabe”, lo que es verdadero, mostrando así el método para construir una cultura de conocimiento global que superaba las limitaciones y enfrentamientos entre las distintas culturas locales basadas en mitos y leyendas.

 

Así al contrario de lo que se suele pensar las Matemáticas no son la geometría y los números sino que la geometría y los números son objetos matemáticos en cuanto que se pueden descubrir en ellos propiedades verdaderas inmutables y lo que les ocurrió a los griegos es que no encontraron otros objetos matemáticos.

 

 

 

La Naturaleza de las Matemáticas I

 

 

Pronto se dieron cuenta que usando otros recursos como líneas auxiliares y apoyándose en los teoremas ya conocidos se demostraban otros teoremas no tan evidentes como los que planteó Tales de Mileto, así, si por ejemplo empezamos por el teorema de las paralelas que dice:

 

Enunciado:

 

Dadas dos rectas paralelas y otra que las corta en dos puntos A y B en torno a estos puntos se forman 8 ángulos iguales 4 a 4 y suplementarios entre sí. 

Demostración:

 

Traslademos la recta paralela inferior hacia arriba siguiendo la dirección de la recta que las corta hasta que se superponga con la paralela superior (mueve el deslizador n desde el valor 0 a 1) y observarás que los ángulos coinciden.

 

Como antes supongo que estarás de acuerdo con que esta propiedad se cumple siempre, en cualquier lugar donde se encuentren las rectas y sean cualesquiera que sean.

 

¿Lo ves?, ¿Estás de acuerdo?.

 

 

Sin embargo el siguiente que es el teorema de la suma de los ángulos de un triángulo ya no es tan evidente:

 

Enunciado:

 

En todos los triángulos ocurre que la suma de sus ángulos siempre da el ángulo llano (180º).

 

Dibujado el triángulo y codificados sus vértices y lados según la convención habitual, observar que a simple vista no podemos  intuir que se cumple el enunciado. Si experimentamos e investigamos con otros triángulos moviendo el vértice A hasta casos extremos observareis que si A es muy agudo alguno de los otros dos (o los dos) crecen y si A es muy obtuso los otros dos decrecen, de manera que si parece que la suma de los tres al menos está acotada, podríamos medirlos y sumar los resultados pero eso no es una demostración ya que en las mediciones se producen errores y las medidas son aproximadas, además que resulte verdadero en algunos casos nunca garantiza que ocurra en todos los casos posibles.

 

Pero lo que vamos a hacer es utilizar líneas auxiliares y el teorema de las paralelas, así :

Demostración

 

1º) Tracemos la recta que contiene al lado a y su paralela por el vértice A (desliza Paso al valor 1).

2º) Como el lado b corta a las dos paralelas sabemos por el teorema de las paralelas que el ángulo verde del triángulo es igual al ángulo que forma el lado b con la recta que pasa por A, ¿Lo veis?  (desliza Paso al valor 2).

3º) Y como el lado c también corta a las rectas paralelas. El ángulo azul es igual al ángulo que forma el lado c con la recta que pasa por A, ¿De acuerdo? (desliza Paso al valor 3).

4º) Ahora si es evidente que sumando los ángulos verde, rojo y azul del triángulo se forma el ángulo llano en A, es decir suman 180º

 

Mueve los vértices y observarás que esta construcción ocurre en todos los triángulos posibles.

 

 

De manera que usando líneas auxiliares y utilizando teoremas demostrados, se van demostrando nuevos teoremas como el teorema de la suma de los ángulos de un cuadrilátero (deslizar Paso para ver y leer las sucesivas pantallas):

De modo que si les parece, repasemos  los tres teoremas estudiados en esta sección y analicemos los pasos que hemos hecho en las demostraciones y lleguemos a conclusiones sobre la estrategia que hemos seguido,......

 

Y a mí me sale que:

 

1º) El teorema de las paralelas es evidente (es decir que observamos que es verdadero a simple vista, sin sentir la necesidad de demostrarlo) y como Tales hemos utilizado una traslación para demostrarlo.

 

2º) Mientras que los teoremas de la suma de los ángulos de un triángulo y el de los cuadriláteros tienen  varios aspectos en común. El primero es que ambos ya no son evidentes, mirando un triángulo o un cuadrilátero no se me ocurre ni veo que las suma de sus ángulos de media vuelta (180º) o una vuelta entera (360º). Y además las demostraciones de los dos teoremas siguen estrategias similares (es decir parecidas o análogas) que se pueden sintetizar como:

 

Ante una situación nueva que no es evidente, hemos utilizado líneas auxiliares  que cumplen dos requisitos:

                    1º) Están relacionadas con la situación de partida (paralelas a la base del triángulo de partida,

                          diagonal del cuadrilátero de partida)

                    2º) Construyen situaciones conocidas en las que podemos aplicar los teoremas ya demostrados

                          (los lados cortan a rectas paralelas, el cuadrilátero se divide en dos triángulos).

 

Y a partir de estas situaciones conocidas, utilizando los teoremas anteriores generamos razonando deductivamente la demostración del teorema que define la nueva situación (que los lados corten a las rectas paralelas nos muestra que los tres ángulos dan el ángulo llano, o los dos triángulos y la suma de sus ángulos nos conducen a que la suma total en el cuadrilátero sea de 360º)

 

 

Dando un salto cualitativo significativo respecto a la demostración del primer teorema de las Matemáticas aportado por Tales, ahora el conocimiento matemático no trata solo de propiedades geométricas evidentes, ahora las propiedades están ocultas pero las desvelamos usando líneas auxiliares que nos permiten usar las propiedades ya demostradas, descubriendo con esta labor nuevas propiedades cada vez más complejas y, por tanto, más ocultas a nuestra intuición y observación directa.

 

En fin no me digan que no es maravilloso el camino emprendido por Tales,....... ¿Qué les parece?.....

 

 

 

 

Ahora, por fin ha llegado el momento de que les proponga una tarea matemática, queremos proseguir en la investigación del estudio emprendido y la pregunta inmediata es ¿Qué ocurrirá con los pentágonos? y ¿Con los hexágonos?.....

 

Como es natural no tenemos el enunciado que precisamente es lo que queremos saber y para ello disponemos del applet en el que está dibujado un pentágono en una pantalla y un hexágono en otra, así que procedamos por analogía  como en los casos anteriores realizando las siguientes pautas:

 

            1º) Experimenten con distintas situaciones de partida, moviendo los vértices dibujen distintos pentágonos,  incluidos  

                 los casos más extremos que se les ocurra.

           2º) En cada pentágono dibujen líneas auxiliares  siguiendo las indicaciones  que acabamos de hacer sobre ellas. 

           3º) Hasta descubrir y formular el enunciado y escribir razonando ordenadamente la demostración.

 

(Para dibujar líneas auxiliares pulsen con el ratón la pequeña flecha situada en el extremo inferior derecho del tercer botón de la barra de herramientas que aparece en el applet y escoja la opción segmento entre dos puntos y dibuje clicando los puntos extremos del segmento que quiera dibujar, para borrar una línea pongan el ratón sobre ella y pulsen el botón derecho, una de las opciones del submenú es borra, para mover los polígonos o mover los vértices o deslizar Paso seleccionar la flecha que está en el primer botón).

 

Teorema de la suma de los ángulos del pentágono y del hexágono

Evidentemente al realizar la tarea habréis observado que se siguen unas pautas y regularidades, de  manera que sentiréis que no tenéis problemas para proseguir la investigación y que la repetición de las acciones puede resultar aburrido y de escaso interés, pero en la creación de las matemáticas siempre ocurre que llegados a este punto hay que cambiar el punto de vista y dar otro salto cualitativo  reformulando la investigación.  Es decir:

 

Si para estudiar el caso de los heptágonos voy a hacer lo mismo y para los octógonos también ...., cambiemos esta perspectiva tan aburrida por otra más general. Estudiemos el tema en toda su extensión: ¿Habrá alguna manera de saltarse todos estos pasos? y llegar a un enunciado que contemple a todos los polígonos, tengan los lados que tengan. O de otra forma ¿Cómo se puede calcular lo que suman los ángulos de un polígono cualquiera directamente?, partiendo de que voy a conocer su número de lados aunque estos pueden tener cualquier valor, que voy a llamar n.

 

Para investigar y resolver este nuevo problema os voy a sugerir que sigáis las siguientes indicaciones:

 

1º) Repasar lo que habéis hecho definiendo las pautas y regularidades que habéis  repetido para obtener resultados numéricos teniendo siempre presente que no nos interesan los resultados si no lo que hemos hecho.

2º) Construir una tabla donde en su cabecera se contemple el numero de lados, las pautas y regularidades que habéis definido en 1º) y el resultado final (la suma de los ángulos).

3º) Rellenar la tabla con los datos concretos obtenidos en cada caso, teniendo en cuenta que si en alguna pauta habeis hecho operaciones indicarlas en la tabla.

4º) Estudiar las relaciones que se establecen entre los datos numéricos de las distintas columnas  y generalizar estas relaciones  (razonando por inducción), partiendo del número de lados n hasta obtener    el enunciado de la propiedad.

 

Y ahora hagamos una puesta en común para contrastar los resultados que hemos obtenido, a mí me ha dado:

 

 

Teorema de la suma de los ángulos de un polígono cualquiera

Conclusiones de la investigación

 

Impresiona el resultado final por su generalidad ya que afecta a cualquier polígono, de manera que aunque tenga 1000 lados ya sabemos que la suma de sus ángulos vale 998*180º, resultado que no es evidente ni intuitivo pero lo sorprendente es que de un teorema tan simple e intuitivo como el de las paralelas con solo cuatro teoremas mas hemos dado dos saltos cualitativos fundamentales, ya que hemos descubierto situaciones ocultas y llegado a un resultado tan general que desborda nuestra imaginación en cuanto a la gran cantidad de casos posibles a los que hace referencia, y esta es la potencia (o poder) del quehacer matemático.

 

Y ahora os propongo dos opciones o seguir con la Historia con el artículo sobre las Paradojas de Zenón o entrar en materia de la Geometría Clásica con el artículo sobre la Medida

 

Nota final: En un sentido riguroso fallan las demostraciones en cuanto que aunque hayamos podido dividir en triángulos todos los Pentágonos y Hexágonos que hayamos construido eso no quiere decir que todos se puedan dividir y menos cuando el número de lados crece y los casos extremos cóncavos son más complejos, habría que demostrar que en todo polígono cerrado hay al menos una diagonal interior y además el razonamiento inductivo final nos sirve para hallar el enunciado pero no es una demostración real en el sentido que una regularidad o pauta numérica no tiene que cumplirse en todos los casos geométricos hay un sencillo razonamiento deductivo que se llama demostración por inducción con el que se suele demostrar este tipo de enunciados pero previamente necesitamos demostrar la proposición anterior.

Pero ya comentamos al principio de nuestras intenciones informales.