Sobre las Medidas de las Cosas

 

 

 

Lo primero recordar que este capítulo viene precedido por el capítulo "El Nacimiento y Naturaleza de las Matemáticas". Así que empecemos con el tema de la Medida.

 

Los elementos más básicos de la geometría clásica plana son los puntos que no tienen magnitud (por ahora), las líneas que tiene de magnitud a su longitud, las superficies con magnitud el área, y los ángulos que se forman al incidir dos líneas (por ahora) con su amplitud como magnitud.

 

Cuando se habla de magnitudes nos referimos a las propiedades que tienen las cosas, cada una con su propia cantidad de manera que cuando observamos dos cantidades de una magnitud (dos longitudes, áreas o amplitudes) surge inevitablemente la comparación entre ellas en forma de dos preguntas:

 

¿Cuál es la mayor o son iguales?

 

¿Cuántas veces es más grande, o pequeña, una respecto a la otra?. que reformulada tiene también estas dos formas ¿Cuántas veces contiene o cabe la pequeña en la mayor? o ¿Qué parte de la mayor ocupa o abarca la pequeña?.

 

De manera que llamamos razón geométrica, o simplemente razón, entre dos cantidades al número de veces veces que contiene la mayor a la menor (1 vez si son iguales) o, en principio, a la fracción de la mayor que ocupa la menor.

 

Así, para cada linea, superficie ó ángulo determinamos su propia medida de lóngitud, área o amplitud haciendo razones con segmentos, cuadrados o ángulos fijos y elegidos por nosotros que llamamos unidades de medida. En GeoGebra nosotros definimos el segmento unidad para medir longitudes cuando configuramos la vista gráfica, siendo la unidad de área el cuadrado de lado la unidad de longitud, y la de amplitud los ángulos de un grado, aunque tenemos la posibilidad de usar ángulos radianes.

 

Luego para calcular la medida de un ángulo contaremos cuantos ángulos de un grado caben dentro de él de forma que a los ángulos los identificaremos con sus medidas, siendo los más importantes el recto o de 90º, el llano de 180º, y los de 30º, 45º y 60º (los ángulos de la escuadra y cartabón).

 

Pero los griegos al estudiar las relaciones entre medidas de longitud (y por extensión de área y volumen) descubrieron dos problemas que no consiguieron resolver:

 

El primero es que al partir de segmentos como unidades de medida o comparación ¿Como se podía  medir curvas?. Había que transformarlas en segmentos es decir rectificarlas para poder establecer la razón pero cuando fueron a hacerlo con la circunferencia partiendo de su radio o su diámetro (segmentos que determinan que la longitud de la circunferencia sea mas grande o pequeña) no lo resolvieron ya que no pudieron hallar exactamente la razón entre la longitud de la circunferencia y su diámetro, ∏, como tampoco encontraron la solución de la cuadratura del círculo que consistía en encontrar el cuadrado o el rectángulo que tuviese el mismo área que un círculo.

 

Pero es que además, por otra parte encontraron muchas longitudes de segmentos entre los que era imposible establecer cuál era su razón, es decir era imposible medir uno tomando de unidad el otro (ver "El Descubrimiento de los Inconmensurables").

 

Problemas fundamentales en la historia de las matemáticas, que en realidad es uno ya que ambos son dos puntos de vista distintos del mismo problema  y se tardaron unos dos mil años en resolverlos cuando se descubrió la estructura Real de las magnitudes contínuas.

 

 

 

Las Fuentes de la Geometría

 

 

Los temas sobre los que trata la Geometría son:

 

1º) Las formas espaciales que toman los objetos matéricos.

 

2º) Los distintos lugares o posiciones en los que están o ocupan en el espacio.

 

3º) Y los movimientos que tienen en el espacio.

 

Temas que describiremos en este documento, pero lo curioso es que casi todos los objetos geométricos  admiten interpretaciones tanto en las formas de objetos matéricos como de lugares en el plano o movimientos, así por ejemplo:

 

Un punto puede ser un vértice de un polígono o una posición concreta del plano o el centro de un giro.

 

Un segmento puede ser un lado de una forma geométrica o la distancia que hay entre las posiciones de dos objetos o la trayectoria de un objeto que se mueve en el plano.

 

Un ángulo puede ser parte de la forma de un objeto o el giro que tiene que hacer un observador para pasar de la observación de un objeto a la observación de otro o la trayectoria del movimiento de un objeto que se mueve en el plano (como el giro que utilizó Tales en la demostración de su primer teorema).

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Y todos los objetos geométricos independientemente que sean contemplados como forma, lugar o movimiento cumplirán siempre sus propiedades siendo indiferente que estén demostradas al ser estudiadas desde el punto de vista de forma o como lugar o como movimiento. Es decir: