Los Números Irracionales

 

 

 

 

 

 

1) Una buena codificación, la notación Arábiga, los Números Reales

 

 

Las codificaciones escritas de los números naturales antiguas (aparte de las piedras, calculus) eran iterativas (ha excepción de la Mesopotámica que era iterativa respecto a su base 10 y posicional respecto a su base 60), quiere decir que, por ejemplo la romana, hay un simbolo para representar una unidad de cada potencia de 10, I para el 1, X para el 10, C para el 100, M para el mil de tal manera que para representar un cantidad como 1321 se iteran las unidades de cada potencia de 10, M CCC XX I (obviemos la sofisticación romana de tener simbolos intermedios como V , L ó D, que permitían iterar lo menos posible).

 

La novedad de la notación arábiga (que provenía de la India), consistía en utilizar solo diez simbolos para representar las diez cantidades posibles de las unidades del cero al nueve antes de pasar a las decenas y así dependiendo de la posición en que apareciesen las cifras al escribir un número se sabe cuantas unidades de miles, centenas, decenas o unidades se tienen, 1321  significa que hay 1 de mil 3 de cien 2 de diez y 1 unidad.

 

Además presentaba una novedad (que ya era conocida por los Mesopotámicos) que consistía en que en caso de medir una longitud con una unidad que no encajase enteramente entonces se procedía a dividir la unidad en diez partes (décimas) y se comparaba el resto con esta nueva unidad y en caso de no encajar se dividia la décima en diez partes (centésimas) y se medía el nuevo resto con esta cantidad y si …. , así sucesivamente.

 

Con este nuevo sistema de codificación (Sistema decimal posicional) y con sus algoritmos de cálculo (antes los calculos se hacían con abacos e instrumentos no con lenguaje escrito) pronto se descubrió que dada una cantidad unidad (por ejemplo 1 metro) y otra cantidad, B, que incluso sea comensurable con ella (por ejemplo 4/3 de metro) medida con el nuevo sistema nos introducimos en un proceso infinito de medida (pero ahora con números) de tal manera que en B cabe 1 m. y queda un resto en este resto caben 3 decímetros y vuelve a quedar un resto y en el nuevo resto caben 3 cm. y vuelve a quedar un resto donde caben 3 mm. Y vuelve a quedar un resto donde ….. . Así lo que mide B respecto al segmento metro queda codificado por el número 1,333333….

 

Pero lo más interesante es que el proceso infinito queda codificado por una sucesión de pasos infinita en donde en cada paso se produce una medida más precisa que la anterior, sabiendo que al final del proceso se consigue la medida exacta de B respecto al segmento de un metro

 

(1 , 1,3 , 1,33 , 1,333 , 1,3333 , 1,33333 , 1,333333 , ……  ) = 4/3 m. = B.

 

Por tanto las cantidades irracionales se presentan como finales o límites de procesos infinitos de medida que pueden ser por exceso o por defecto

 

√2 = (1 , 1,4 , 1,41 , 1,414 , 1,4142 , … ) = (2 , 1,5 , 1,42 , 1,415 , 1,4143 , …. )

 

En definitiva todas las cantidades reales, hasta las enteras pueden ser construidas en estos procesos

 

2 = (1 , 1,9 , 1,99 , 1,999 , ……) = 2 ó (3 , 2,1 , 2,01 , 2,001 , 2,0001 , ……) = 2

 

Por tanto se puede concebir una respuesta a la cuestión básica de las magnitudes continuas, tenemos un metodo de codicficación e identificación de todas las cantidades posibles que se pueden dar en una magnitud continua, que podemos definir como:

 

Dada una magnitud continua que se pueda medir y una unidad de medida, las medidas ó intensidades posibles se pueden concebir como todos los posibles finales de un proceso de medida de infinitos pasos tanto por defecto como por exceso efectuados con el sistema decimal posicional.

 

Evidentemente tenemos que admitir la paradoja de Aquiles, nosotros solo podemos proceder haciendo procesos de pasos ordenados (uno detrás de otro) y en número finito, por tanto nunca podremos determinarlos exactamente pero eso ya no es el problema porque lo que ocurre es que:

 

Por nuestras limitaciones Naturales en cuanto que inmersos en un universo infinito Real estamos abocados a ser toscos e imprecisos en el control de los distintos estados y lo que nos sucede siempre (seamos más precisos o imprecisos da igual) es que cuando dejamos de realizar el proceso siempre quedan infinitos pasos a realizar.

Y esto hay que aceptarlo como un hecho y no preocuparnos demasiado ya que haremos aproximaciones: truncamientos (interrupción del proceso), redondeos y entornos de aproximación (que son nuestros puntos gordos), controlaremos el error posible y seremos tan imprecisos-precisos como queramos o podamos, teniendo en cuenta que normalmente, como elemento informativo, trabajaremos  con números de cinco cifras significativas como mucho, y que tenemos potentes herramientas de cálculo (modernos ábacos) para trabajar con “muchas” cifras significativas.

 

Por tanto podemos concluir que desde la perspectiva de la concepción Real del continuo infinitamente divisible, hemos dado una respuesta satisfactoria a las cuestiones 2), 3) y 4) del apartado 7).

Encontrando una potente herramienta numérica (los procesos infinitos de medida a partir de una unidad) que definen cada cantidad posible de una magnitud continua y que nos permite trabajar, desde nuestras limitaciones. Con los procesos infinitos.

 

Pero claro queda abordar la cuestion 5) del Aptdo 7).

Como estudiar como se pasa de punto a punto (o como se acumula una longitud) continuamente si entre dos cantidades, por muy “cerca” que esten en cuanto que distintas siempre hay infinitas cantidades entre ellas. Como se puede explicar como se produce el movimiento continuo y controlar los distintos ritmos a los que se produce.

 

La solución de este problema vino de la mano de Newton y Leibnitz, pero previamente vamos a exponer el método del estudio de la realidad fenomenológica, así como un estudio de la naturaleza del continuo desde la perspectiva de Leibnitz, apartados 9) y 10) .

 

Ademas queda pendiente la cuestión 1) del aptdo 7) que dejaremos su resolución para más tarde y mantendremos sobre la composición del tiempo espacio las concepciones generales del aptdo 2) más la consecuencia sobre la duración de los momentos y espacio de los puntos del descubrimirento de los inconmensurables, como cantidades nulas.