Las Distancias y Los Lugares

 

 

Los Conceptos

 

Hay tres conceptos básicos sobre los distintos lugares del plano que ocupan los objetos o formas espaciales que vamos a trabajar en este apartado:

 

El primero es como definir y medir la distancia que hay entre dos objetos o formas, es decir contestar a la pregunta ¿Como puedo calcular a que distancia se encuentra una forma de otra?, y la idea de partida es que la distancia que buscamos sea la longitud del "camino" más corto que una a las dos formas.

 

El  segundo es decidir cuales son las posiciones relativas entre diversas formas, es decir, y en una primera aproximación, sería contestar la siguiente pregunta ¿Como puedo saber si dos formas no se tocan, solo se tocan en el borde de sus límites, se cortan y se invaden una en el otra o incluso una contiene a la otra?, y para ello vamos a partir de sus dimensiones y distancias básicas con las que tendremos que responder a la pregunta.

 

Y por último nos van a interesar que lugares del plano pueden ocupar los puntos que cumplan una propiedad sobre sus distancias a una o varias formas, es decir y por ejemplo responder a preguntas como ¿Qué lugares se pueden ocupar o puedo estar tal que se encuentra a dos unidades de una forma y a tres de otra?, y a este concepto se le llama lugar geométrico.

 

De los tres el más potente (como siempre en cuanto a su capacidad de crear nuevas situaciones y formas) es el de los lugares geométricos, ya que dadas dos formas la distancia que hay entre ellas es única, así como su posición relativa no pasa de varios casos posibles muy concretos (en general los señalados anteriormente) pero a partir de las formas se pueden construir infinidad de lugares geométricos, tantos como propiedades sobre distancias respecto a ellos se nos puedan ocurrir o necesitar y de hecho se nota porque para describir el concepto he tenido que recurrir a un ejemplo mientras que en los otros casos las preguntas son totalmente concretas.

 

Ahora vamos a introducirnos con nuestros objetos mas elementales a describir estos conceptos en las siguientes presentaciones de GeoGebra y para ello les animo para que cojan papel y lápiz ya que voy a proponerles una serie de tareas en cada Paso o pantalla de la presentación que pondremos en una puesta en común al finalizar el Paso, así lo primero que vamos a tratar es el concepto de distancia (por supuesto, mover los puntos para crear nuevas situaciones y desticar texto si queréis que la pantalla esté mas límpia para observarlas).

 

 

 

Las Distancias

 

Hemos definido tres distancias y un lugar geométrico, que aunque sencillos y conocidos por todos, nos han permitido exponer distintas formas de definir los conceptos matemáticos que tienen las siguientes características:

 

Todas tienen en común que se definen en torno a una propiedad (el "camino mas corto entre...", "los puntos que equidistan a...").

 

Pero se diferencian en que:

1º) Definimos la distancia entre dos puntos mediante un axioma, o verdad indemostrable asumida por todos como evidente, que identifica la propiedad con la definición "el camino más corto es la longitud del segmento que los une".

2º) Definimos la distancia entre un punto y una recta mediante una demostración, basada en los ángulos suplementarios y la simetría, que evidencia la definición, "la distancia es la longitud del segmento perpendicular ..., porque ..... y porque...".

3º) Hay una pequeña trampa en el tercero ya que aunque aparentemente hago una demostración, en realidad utilizo el famoso axioma de las paralelas que ya nos dará que hablar pero en otra ocasión, por lo que os pido que no lo tengais en cuenta.

4º) Defino el lugar geométrico, la circunferencia, construyéndolo a partir de la propiedad.

 

Por lo tanto hemos utilizado tres formas distintas para definir los conceptos que seguiremos utilizando aunque también usaremos otras formas que iremos describiendo según avancemos en la narración.

 

Pero ahora "toca" estudiar las distintas posiciones que toman los objetos entre sí y para ello vamos a utilizar la siguiente estrategia:

 

1º) Experimentemos creando distintas situaciones hasta describir todos los casos posibles.

2º) A partir de los datos básicos formulemos la propiedad métrica que identifique cada caso.

 

Es decir, lo que os propongo es que construyamos nosotros las definiciónes. Identificando los casos que hay que definir y la propiedad que caracteriza cada caso.

 

 

 

Las Posiciones Relativas

¿Estáis de acuerdo con lo que hemos hallado?, bueno yo no del todo y quisiera hacer dos puntualizaciones al respecto:

 

1º) La primera es hacia la fórmula que he utilizado para definir los conceptos y me refiero a ese si y solo si o equivalencia lógica que, como veremos mas adelante, es muy especial. Aqui la he utilizado para identificar las definiciones con las propiedades métricas que se han de cumplir, con esa forma que literalmente dice "Una cosa es tal si ocurre la propiedad" (condición necesaria, es decir para que sea tal es necesario que ocurra ....) ".... y solo si ocurre la propiedad" (condición suficiente, es decir que con que ocurra eso es suficiente para que sea tal).

 

2º) Mientras que la segunda puntualización es que no estoy de acuerdo con la definición que he hecho en el caso de las circunferencias secantes, es decir:

Para que dos circunferencias sean secantes si es necesario que ocurra que la distancia entre los centros sea menor que el Radio de la mayor mas el radio de la menor. Pero no es suficiente poque si además de esto ocurre que  el Radio de la mayor es mayor que el radio de la menor más la distancia entre centros entonces la circunferencia pequeña sería interior y no secante de la grande (comprobarlo en la presentación, identificando con una situación concreta lo que estoy diciendo).

 

Por lo tanto la definición tenía que haber sido:

 

Las circunferencias son secantes  si y solo si  d (Centro1, Centro2)  < Radio + radio   y    Radio < radio + d (Centro1, Centro2).

 

Donde la y está en negrilla porque nos indica que es necesario y suficiente que se cumplan las dos propiedades métricas a la vez.

 

 

Por último vamos a definir tres lugares geométricos, partiendo de la propiedad y de los objetos a los que se refiere, construyendolos pero utilizando los conceptos ya definidos usando las propiedades que los caracterizan.

 

 

 

Los Lugares Geométricos

Como habeis visto hemos construido los lugares geométricos usando la propiedad que identifica a las circunferencias en el caso de la mediatriz, la de la distancia de un punto a una recta para el lugar de los puntos que equidistan a una recta, y este lugar para construir la bisectriz, de nuevo en la dinámica constructiva de las matemáticas en cuanto que los nuevos resultados se apoyan en los hallados anteriormente, aunque ahora no se trate de teoremas propiamente dichos sino de conceptos donde los mas complejos se construyen a partir de conceptos mas simples.

 

Bien ya hemos hablado de los elementos básicos que forman la segunda fuente de la geometría (los lugares y las distancias), pero vamos a dejar para el final a las formas y previamente abordemos a los elementos básicos de la tercera fuente "Los Movimientos y las Transformaciones" que se producen en el Plano.